(1장) 일 변수 함수의 최대최소 이론

개요

• 일 변수 함수의 최대최소 이론을 다룸
• 특히, 테일러 전개이론은 다변수 함수에서 이론적인 중요한 도구이므로 잘 알아둘 필요가 있다

일 변수 함수 미분

정의

• $f:(a,b)\to R$ 에서 $x\in (a,b)$ 인 점에서 다음 극한값

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

이 존재할 때, 이 극한값을 $f^{\prime }(x)$ 라 표시하고 점 x에서의 f(x)의 도함수(derivative) 라고 한다.

• 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$y^{\prime },\frac{dy}{dx},\frac{df(x)}{dx},\frac{d}{dx}f(x)$$

예제1

각 함수들의 도함수를 정의해보자

• (1) $f(x)=c$ (c는 상수)

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{c-c}{h}=0$$

• (2) $f(x)=\ln x$ (자연로그 참고)

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=(\text{생략})& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+h)-\ln x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (\frac{x+h}{x})}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\frac{h}{x})}{\frac{h}{x}}\times \frac{1}{x}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x}{h}\ln (1+\frac{h}{x})\times \frac{1}{x}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }{\ln (1+\frac{h}{x})}^{\frac{x}{h}}\times \frac{1}{x}\\ & =\ln e\times \frac{1}{x}\\ & =\frac{1}{x}\end{array}$$

• (3) $f(x)=e^x$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=(\text{생략})& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x\times e^h-e^x}{h}\\ & =e^x\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=e^x\times 1\\ & =e^x\end{array}$$

• (4) $f(x)=\sin x$

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)=(\text{생략})& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2\sin \frac{h}{2}\cos (x+\frac{h}{2})}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\cos (x+\frac{h}{2})\\ & =\cos x\end{array}$$

미분 법칙

2개의 함수 $f(x),g(x)$ 가 미분가능하면 다음 법칙들이 성립한다.

• (1) $(f+g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$
  
• (2) $(cf{)}^{\prime }(x)=c{f}^{\prime }(x)$
  
• (3) $(fg{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$
  
• (4) $(\frac{f}{g}{)}^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2},(g(x)\ne 0)$

합성함수의 미분(연쇄법칙, chain rule)

• 2개의 함수 $f(x),g(x)$ 가 미분가능일 때, $f(x)$와 $g(x)$의 함성함수를 $u(x)=g(f(x))$ 라고 하면 다음과 같이 표현 가능함

$$u^{\prime }(x)=g^{\prime }(f(x))f^{\prime }(x)⟺\frac{du}{dx}=\frac{du}{df}\times \frac{df}{dx}$$

• 3개의 함수 $f,g,h$가 미분 가능하고 $f$가 $g,h$로 이루어진 합성함수 일 때, 다음과 같이 표현가능함

$$z=f(x,y)x=g(t)y=h(t)$$ $$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}$$

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