로그(log)

로그(log)

✔ 지수를 표현하기 위해 만들어진 개념 ✔ 지수함수의 역함수

정의

• $x={\log }_{a}b$ 일 때, $a$ 를 $b$로 만드는 지수 $x$라고 해석

$$a^x=b⟺x={\log }_{a}b$$

• 이 때, $a$는 밑이라 하고, $b$는 진수라 함

조건

• 밑 조건: 밑은 1이 아닌 양수 ($a\ne 1,a>0$)
  • 밑이 1이면, 1에 어떤 지수를 붙여도 1이 나옴
• 진수 조건: 진수는 양수 ($b>0$)

성질

로그의 조건을 만족할 때, 다음 성질을 가짐

• ${\log }_{a}1=0$
• ${\log }_{a}a=1$
• ${\log }_{a}MN={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$
• ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$
• ${\log }_a{M}^k=k{\log }_{a}M$ (단, $k$는 실수)
• ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$
• ${\log }_a\frac{1}{M}=-{\log }_{a}M$
• ${\log }_{a}M=\frac{1}{{\log }_{M}a}$
• ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$

상용로그

정의

• 밑을 10으로 하는 로그

$${\log }_{10}N=\log N$$ $$\log N=y⟺10^y=N$$

• 밑을 생략하고 적으면 상용로그

예시

• $\log 10=1$
• $\log 100=2$
• $\log 1000=3$

자연로그

정의

• 밑을 자연상수 $e$로 하는 로그
• $\ln$으로 표기

$${\log }_{e}x⟺\ln x=y⟺e^y=x$$

예시

• $\ln x=-2⟺x=e^{-2}$
• $\ln e=1$

성질

$x>0,y>0$ 일 때, 다음 성질을 만족함 ($log$의 성질을 모두 만족)

• $\ln 1=0,\ln e=1$
• $\ln x^n=n\ln x$ (단, $n$은 실수)
• $\ln xy=\ln x+\ln y$
• $\ln \frac{x}{y}=\ln x-\ln y$

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참고

• 시골청년 :: 로그(log)란 무엇인가?
• 로그(log) 계산 공식 (상용로그, 자연로그) 총정리! : 네이버 블로그