(Geometry) 2D 변환

기하학에서 2D 기하 변환 (2D Geometric Transformation)에 대한 기본 내용 정리

Transformations

Geometric Transformation이란 기하학적인 구조를 가진 집합을 one-to-one mapping을 통해 옮기는 것으로, 쉽게말해서 점들의 집합을 이동시키는 것

기본이 되는 2D 변환으로는 평행이동(translate), 회전(rotate), 확대/축소(scale), 전단(shear), 대칭(reflect) 등이 있으며, 기본 2D 변환을 조합한 다양한 카테고리의 2D 변환 방법들이 있음

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Linear Transformation

행렬곱(matrix multiplication)을 통해 transformation 하는 방법 다음 수식들을 만족함

• $T(v)=Mv$
• $T(au+v)=aT(u)+T(v)$
• $M\cdot (au+v)=aMu+Mv$

2D Linear Transformation

• 2x2 행렬이 2D linear transformation을 나타내며, 다음과 같은 transformation이 가능
  • scale, rotation, shear, reflection 등
• Translation의 경우 linear transformation이 아님(행렬 곱만으로 표현 불가)

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Scale

• x축이나 y축 방향으로 늘리거나 줄이는 것
• x축과 y축을 같은 배율만큼 scale 하는 것을 uniform scale이라 하고, 다른 정도로 scale 하는 것을 non-uniform scale이라 함

$$(\text{Scale}\text{변환 행렬})S=\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right],$$ $$\left[\begin{array}{cc}{s}_x& 0\\ 0& s_y\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{s}_{x}x\\ s_{y}y\end{array}\right]$$

• 이 때, $s_x=s_y$ 을 만족하면 uniform scale

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Rotate

• 좌표계 원점을 기준으로 회전을 표현함

$$\theta radian\text{만큼 회전}$$ $$(\text{Rotate}\text{변환 행렬})R_{\theta }=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right],$$ $$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right]$$

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Reflection

• 어떤 축을 기준으로 대칭(반사)=Flip 시킨 것으로 non-uniform scale의 한 케이스

• 세로(y) 축 대칭: $F=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

• 가로(x) 축 대칭: $F=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$

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Shear

• 대각선으로 비틀린 모양
• 좌우 비틀기: $Sh=\left[\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right]$
• 위아래 비틀기: $Sh=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ a& 1\end{array}\right]$

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Affine Transformation

Semi Linear Transformation 으로 linear transformation + translation 을 의미함 Linear Transformation에 해당하는 2x2 행렬과 평행이동의 2x1 벡터로 구성돼 6DOF를 가짐

Linear transformation의 일부 특징을 포함해서 다음과 같은 특징을 가짐

• preserve lines (선 보존)
• preserve parallel lines (평행선 보존)
• preserve ratios of distance along a line (선 거리 비율 보존)

2D Translation (평행 이동)

• 2차원에서 translation은 다음과 같이 적용

  • $T(v)=v+u$
  • $T^{-1}(v)=v-u$

• 이는 행렬 곱으로 나타낼 수 없으므로 linear transformation이 아님

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Rigid Transformation

Rotaion + Translation 으로, 회전과 평행이동을 동시에 수행하는 것

• $T(v)=Rv+u$

다음과 같은 특징을 가짐

• preserve distances between all points

• preserve cross product for all vector ⇒ preserve angles
  → to avoid reflection

• 모든 vector끼리의 cross product(외적)이 유지되며, 이 덕분에 reflection을 피할 수 있게 됨

• 만약 reflection을 통해 이동시키게되면 방향이 뒤집어져 되어버리기 때문에 cross product의 방향 또한 반대가 됨

• 현재의 cross product가 화면 바깥쪽을 향하고 있다면 reflect하게 되면 cross product가 화면 안쪽을 향하게 되어버림

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참고

• Transformation in 2D

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기하학수학