삼각함수 응용

삼각함수 응용

• 삼각함수의 덧셈정리, 사인법칙, 코사인법칙 등

삼각함수 제곱공식

항등식

피타고라스 정리로 인해, 다음을 만족함

• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
• $\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+1=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$
• $1+\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$
• ${\tan }^{2}x+1={\sec }^{2}x$

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삼각함수 사인법칙, 코사인법칙

사인법칙

• 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기를 알 때
• 두 변의 길이와 끼인각이 아닌 각의 크기를 알 때

$△ABC$ 의 외접원 반지름을 $R$, 각의 대응변 길이를 $a,b,c$라고 할 때,

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

제 1 코사인법칙

• 두 각의 크기와 두 대변의 길이를 알 때
• 세 변의 길이와 한 각의 크기를 알 때

$a=b\cos C+c\cos B$

$b=c\cos A+a\cos C$

$c=a\cos B+b\cos A$

제 2 코사인법칙

• 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알 때
• 세 변의 길이를 알 때

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ $b^2=c^2+a^2-2ca\cos B$ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

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삼각함수 덧셈정리

sin 덧셈정리

• $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$
• $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

cos 덧셈정리

• $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
• $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

tan 덧셈정리

• $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
• $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

증명

좌표평면에서 두 각 $\alpha$, $\beta$ 를 나타내는 동경과 단위원의 교점 P, Q는

P($\cos \alpha$, $\sin \alpha$,), Q($\cos \beta$, $\sin \beta$)

두 점 사이 거리를 구하는 공식에 의해,

$$\begin{array}{rl}{\overline{PQ}}^2& =(\cos \alpha -\cos \beta {)}^2+(\sin \alpha -\sin \beta {)}^2\\ & ={\cos }^2\alpha -2\cos \alpha \cos \beta +{\cos }^2\beta +{\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \sin \beta +{\sin }^2\beta \\ & =2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )\end{array}$$

이고, 삼각형 POQ에서 제 2 코사인법칙에 의하여

$$\begin{array}{rl}{\overline{PQ}}^2& ={\overline{OP}}^2+{\overline{OQ}}^2-2\times \overline{OP}\times \overline{OQ}\times \cos (\alpha -\beta )\\ & =1^2+1^2-2\times 1\times 1\times \cos (\alpha -\beta )\\ & =2-2\cos (\alpha -\beta )\end{array}$$

이다.

따라서,

$2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )=2-2\cos (\alpha -\beta )$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

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참고

• 삼각함수 위키
• 삼각함수 덧셈정리

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삼각함수수학