(행렬) 행렬 기본

행렬 (Matrix)

✔ 어떤 대상을 행과 열로 맞춰 나열한 것 ✔ 어떤 대상이란 주로 복소수 또는 실수

F-위의 행렬(Matrix of F)

F(Field) $\mathbb{R}:$ 실수 전체의 집합 $\mathbb{C}:$ 복소수 전체의 집합

자연수 $i,j$ ($1\le i\le m$, $1\le j\le n$) 와 Field F에 대해

$a_{ij}\in F$

일 때, 다음과 같이 $a_{ij}$를 직사각형으로 배열한 것을 F-위의 m$\times$n 행렬 이라 한다

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

이때, A를 간단히 표시하면 $A={\left(\begin{array}{c}{a}_{ij}\end{array}\right)}_{m\times n}$

라고 표기하고, $a_{ij}$를 A의 (i, j) 성분이라 부른다

---

행렬 연산

행렬의 덧셈·뺄셈과 상수배의 연산 법칙

크기가 같은 세 행렬 A, B, C와 상수 m, n에 대해 다음이 성립함

1. 결합법칙: $A+(B+C)=(A+B)+C$
2. 교환법칙: $A+B=B+A$
3. 항등원: $A+O=A$ $O$는 영행렬(zero matrix): 모든 성분이 0인 행렬
4. 역원: $A+(-A)=A-A=O$
5. 분배법칙1: $(m+n)A=mA+nA$
6. 분배법칙2: $m(A+B)=mA+mB$
7. 상수배 결합법칙: $m(nA)=(mn)A$

행렬의 곱셈

행렬 $A$($m\times n$)와 행렬 $B$($n\times r$)에 대해, $A$와 $B$의 곱셈 $AB$는 다음과 같이 정의함

$$AB={\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}\right)}_{m\times r}$$

행렬 A, B를 곱할 때, A의 열 개수와 B의 행 개수가 같아야 한다

(2 x 3) 행렬 x (3 x 5) 행렬 = (2 x 5) 행렬 A(m $\times$ n) $\times$ B(n $\times$ k) = C(m $\times$ k)

$$\begin{gathered} A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& -1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 1\\ 0& 2\end{array}\right) \\ AB=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ 1& 1\end{array}\right) \end{gathered}$$

행렬의 곱셈 법칙

행렬 A, B, C가 서로 곱셈이 가능한 모양이고, m은 상수일 때 다음이 성립함

1. $AB\ne BA$
2. $A(BC)=(AB)C$
3. $m(AB)=(mA)B=A(mB)$
4. $(A+B)C=AC+BC$ $A(B+C)=AB+AB$

---

전치행렬

전치행렬(Transpose Matrix)

행렬 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$의 전치행렬 $A^t$ 은 다음과 같이 정의 한다.

$A^t=(a_{ij}{)}_{n\times m}$

$${\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right)$$

특히, $A=A^t$ 를 만족하는 정방행렬은 대칭행렬이라 한다.

전치행렬의 성질

1. $(A+B{)}^t=A^t+B^t$
2. $(A^t{)}^t=A$
3. $(cA{)}^t=c{A}^t$
4. $(AC{)}^t=C^t{A}^t$

---

정방행렬

정방행렬(Square Matrix)

행과 열의 개수가 n으로 같은 행렬

$A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

• $a_{11},a_{22},\cdots ,a_{nn}$ 성분들을 통틀어 대각성분(Diagonal component)
• 대각성분을 모두 더한 값은 대각합(Trace)

---

항등행렬

항등행렬(Identity Matrix)

: 단위행렬(Unit Matrix)

대각성분이 1이고 나머지 성분이 0인 n차 정방행렬을 n차 항등행렬이라고 한다.

n차 항등행렬은 $I_n$ 또는 $I$라 표기한다.

$$I_n=I=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)=({\delta }_{ij}{)}_{n\times n}$$

이 때, 크로네커 델타(Kronechker’s delta) ($\delta$)의 의미는,

$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& (i=j)\\ & \\ 0& (i\ne j)\end{array}$$

항등행렬은 행렬 곱셉의 항등원 역할을 한다.

---

대칭행렬

대칭행렬(Symmetric Matrix)

대칭행렬은 전치행렬에서 언급한 바와 같이 $A^T=A$를 만족하는 행렬

$${\left(\begin{array}{ccc}8& 1& 4\\ 1& 3& 7\\ 4& 7& 6\end{array}\right)}^T=\left(\begin{array}{ccc}8& 1& 4\\ 1& 3& 7\\ 4& 7& 6\end{array}\right)$$

대칭행렬의 조건:

• $a_{ij}=a_{ji}$
• 정방행렬

---

가역행렬

가역행렬(Invertible Matrix)

n차 정방행렬 $A$에 대해,

$AB=I_n=BA$ 를 만족하는 n차 정방행렬 $B$가 존재할 때,

A를 가역행렬이라 한다. 이 때, B를 A의 역행렬이라고 부르고 다음과 같이 표기한다.

$B=A^{-1},A=B^{-1}$

• 행렬의 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않기 때문에, 가역행렬인지 확인하기 위해 AB, BA 모두 확인 해봐야 하지만, ==무조건 AB=I 이면, BA=I 이다.==

• ==A가 가역행렬 일 때, A의 역행렬은 하나로 유일하다.==

• A가 가역행렬 일 때, A의 역행렬 또한 자명하게 가역행렬이다.

2차 정방행렬 $A$에 대해, 다음 조건을 만족하면 $A$는 가역이다.

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\iff ad-bc\ne 0$$

이 때, A의 역행렬은

$${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

2차 정방 행렬에 대해서는 위와 같은 식이 나오며, (행렬) 가우스-조던 소거법 을 이용해 역행렬을 구할 수 있다.

역행렬의 성질

가역행렬 A, B와 0이 아닌 상수 c에 대해 다음이 성립한다.

1. $I^{-1}=I$
2. $(cA{)}^{-1}=\frac{1}{c}{A}^{-1}$
3. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
4. $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
5. $(A^t{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^t$

($I,cA,AB,A^{-1},A^t$ 역시 가역이다)

---

참고

• [선형대수학] I. 행렬 - 1. 행렬의 뜻과 연산 (글로 읽는 수학 강의) (Matrix) : 네이버 블로그

---

Next: (행렬) 연립방정식과 행렬

---

선형대수행렬수학