역삼각함수

역삼각함수 (Inverse Trigonometric Function)

• 삼각함수로부터 나오는 값을 받아 그 값에 해당하는 각도를 출력하는 함수
• 호도법에서는 단위원을 기준으로 각의 크기가 호의 길이가 되므로, 호를 의미하는 접두사 $arc$-가 본래 함수의 명칭 앞에 붙는다

특징

• 역함수는 정의역과 치역이 일대일 대응일 때 존재함
• 삼각함수는 일대일 대응이 아니다.
• ex) $sin\frac{\pi }{6}=\sin \frac{5}{6}\pi \to$ 다른 두 정의역 값이 하나의 치역을 가리킴

따라서 삼각함수의 역함수를 구할 때, 삼각함수가 $x$ 값 하나에 대해서 $y$ 값 하나에만 대응되는 부분(일대일 대응)으로 정의역을 제한한다.

• 삼각함수에서 일대일 대응 되는 정의역을 찾을 때 조건
  1. $0\in X\to$ 정의역에 0이 포함되어야 한다.
  2. $Y=[-1,1]\to$ 치역은 일대일 대응이 되는 원래의 치역($-1\le Y\le 1$)
• 이러한 제한 영역을 **주욧값(principal value)**이라고 함

역사인함수(arcsin)

• $\sin$ : $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
• $\Rightarrow {\sin }^{-1}:[-1,1]\to [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
• $\Rightarrow y={\sin }^{-1}x:\arcsin (x)$

$\sin ({\sin }^{-1}(x))=x,x\in [-1,1],{\sin }^{-1}(\sin (x))=x,x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

예제

• ${\sin }^{-1}(-\frac{1}{2})=x$ , $x$ ?
  • $\sin x=-\frac{1}{2}$
  • $x=-\frac{\pi }{6}radian$

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역코사인함수(arccos)

• $\cos :[0,\pi ]\to [-1,1]$ 일대일 대응
• $\Rightarrow {\cos }^{-1}:[-1,1]\to [0,\pi ]$
• $\Rightarrow y={\cos }^{-1}x$

$\cos ({\cos }^{-1}(x))=x,x\in [-1,1],{\cos }^{-1}(\cos (x))=x,x\in [0,\pi ]$

역코사인 함수의 치역(y)은 양수이므로, 역코사인 값은 음수가 될 수 없다.

예제

• ${\cos }^{-1}(-\frac{1}{2})=x,x?$
  • $\cos x=-\frac{1}{2}$
  • 코사인 값은 대칭, $\cos x$ = $\pm \frac{1}{2}$이 되는 radian은 $\frac{\pi }{3},\frac{2}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi ,\frac{5}{3}\pi$ 가 있다.
  • 역코사인 함수의 치역은 [0, $\pi$]이므로 $\frac{\pi }{3},\frac{2}{3}\pi$ 둘 중 하나인데, $-\frac{1}{2}$이 되는 값은 $\frac{2}{3}\pi$
  • $\therefore x=\frac{2}{3}\pi$

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역탄젠트함수(arctan)

• $\tan :(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})\to (-\infty ,\infty )$ 일대일 대응
• $\Rightarrow {\tan }^{-1}:(-\infty ,\infty )\to (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 역탄젠트 함수
• $\Rightarrow y={\tan }^{-1}x$

예제

• ${\tan }^{-1}(0)=0$
• ${\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$

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참고

• 역삼각함수 위키
• 역삼각함수 정리 - 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트

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삼각함수수학