8. 확장 칼만 필터 (Extended Kalman Filter)

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확장 칼만 필터 개요

확장 칼만 필터란?

• 확장 칼만 필터(Extended Kalman Filter, EKF)는 비선형 시스템의 상태 추정을 위해 고안된 칼만 필터(Kalman Filter)의 확장된 형태이다.
• 칼민 필터 참고: 7. 칼만 필터(Kalman Filter)
• 기본 칼만 필터는 시스템이 선형이어야만 적용 가능하지만, 현실 세계의 많은 시스템은 비선형 특성을 가지고 있으며, EKF는 이러한 비선형 시스템에 칼만 필터를 적용하기 위해 비선형 모델을 선형 근사해서 사용하는 방식이다.

기존 칼만 필터와 비교

• 일반 칼만 필터(KF)와 확장 칼만 필터(EKF)의 가장 본질적인 차이는 시스템 모델이 선형인가 비선형인가에 있다.
• 확장 칼만 필터의 상태 전이 모델과 관측 모델에 비선형 함수가 사용되며, 알고리즘에서 비선형 함수를 자코비안으로 선형 근사 후 일반 칼만 필터의 구조를 적용한다.

시스템 모델 (비선형)

상태 전이 모델 (State Transition)

• 이전 상태와 제어 입력을 통해 현재 상태를 나타내기 위한 관계식.

$${\mathbf{x}}_k=f({\mathbf{x}}_{k-1},{\mathbf{u}}_{k-1})+{\mathbf{w}}_{k-1}$$

• ${\mathbf{x}}_k$ : 상태 벡터
• $f()$ : 비선형 상태 전이 함수
• $\mathbf{u}$ : 제어 입력
• $\mathbf{w}$ : 프로세스 노이즈

관측 모델 (Measurement model)

• 센서 등으로 측정한 값을 통해 현재 상태로 나타내기 위한 관계식.

$${\mathbf{z}}_k=h({\mathbf{x}}_k)+{\mathbf{v}}_k$$

• ${\mathbf{z}}_k$ : 관측/측정 값
• $h()$ : 비선형 측정 함수
• $\mathbf{v}$ : 측정 노이즈

기존 칼만 필터

상태 전이 모델 (State Transition)

• 이전 상태와 제어 입력을 통해 현재 상태를 나타내기 위한 관계식.

$${\mathbf{x}}_k=A{\mathbf{x}}_{k-1}+B{\mathbf{u}}_{k-1}+{\mathbf{w}}_{k-1}$$

• ${\mathbf{x}}_k$ : 상태 백터
• $A$ : 상태 전이 행렬
• $B$ : 제어 입력 행렬
• $\mathbf{u}$ : 제어 입력(예: 가속 페달, 회전 등)
• $\mathbf{w}$ : 프로세스 노이즈

원본 링크

관측 모델 (Measurement Equation)

• 센서 등으로 측정한 값을 통해 현재 상태로 나타내기 위한 관계식.

$${\mathbf{z}}_k=H{\mathbf{x}}_k+{\mathbf{v}}_k$$

• ${\mathbf{z}}_k$ : 측정 값
• $H$ : 측정 행렬(상태에서 측정값 추출)
• $\mathbf{v}$ : 측정 노이즈

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원본 링크

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확장 칼만 필터 알고리즘

• 상태 전이 모델과 관측 모델의 행렬 $A$ 와 $H$ 가 비선형 함수로 바뀌는 것을 제외하고 기존 칼만 필터와 동일하다.

1. 예측 단계 (Prediction)

1) 상태 예측

$$\begin{array}{r}\\ {\hat{x}}_k^{-}=f({\hat{x}}_{k-1},u_{k-1})\\ \end{array}$$

• $f(\cdot )$ : 비선형 상태 전이 함수
• ${\hat{x}}_k^{-}$ : $k$ 시점의 예측 상태
• ${\hat{x}}_{k-1}$ : $k-1$ 시점의 추정 상태
• $u_{k-1}$ : $k-1$ 시점의 제어 입력

2) 오차 공분산 예측

$$\begin{array}{r}\\ P_k^{-}=A{P}_{k-1}{A}^T+Q\\ \end{array}$$

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참고

• [제어시스템공학-10] Extended Kalman Filter(확장칼만필터) 개념
• Title Unavailable | Site Unreachable
• Extended Kalman Filter란
• [칼만필터는 어렵지않아/Python] CH.12 확장 칼만 필터 — Today’s Minding
• 자코비안(Jacobian) 행렬의 기하학적 의미 - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo’s Math Notes)