(급수) 1. 수열과 급수의 기초

1. 수열, 급수의 개념

수열(sequence)

• 정의역이 자연수의 집합 $\mathbb{N}$ 이고, 치역이 실수 집합 $\mathbb{R}$ 인 함수를 수열(sequence)이라 함
• 어떤 수열을 표현하고 싶을 때는 중괄호 안에 일반항을 표기하여 $\{a_n\}$ 이라 함
• 수열의 특정 항을 표현하고 싶을 때는 $a_n$으로 표기하며, 이는 $\{a_n\}$ 의 $n$ 번째 항이라는 뜻이다

급수(series)

• 수열의 합은 급수(series)라 하고, 시그마를 사용해 축약 표현을 할 수 있다
• 유한한 항까지의 합을 유한급수라 하며, $n$항까지의 합은 간단히 $S_n$이라 하여 다음과 같이 나타냄

$$S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$$

• 무한급수의 합은 다음과 같이 정의되며, 이는 $n$항까지의 합의 극한으로, 실제 무한개의 항을 모조리 더했다는 뜻이 아님

$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n{a}_k=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$$

2. 수열의 점화식 표현

• 등차수열 : 연속한 두 항의 차가 일정한 수열

  • $a_{n+1}-a_n=d(\text{공차})$

• 등비수열 : 연속한 두 항의 비가 일정한 수열

  • $\frac{a_{n+1}}{a_n}=r(\text{공비})$

• 계차수열 : 연속한 두 항의 차이가 등차수열인 수열

  • $a_{n+1}-a_n=f(n)$
  • 계차수열의 일반항 공식 : $a_n=a_1+\sum _{k=1}^{n-1}{b}_k$

• 일반적으로 수열을 이웃하는 항들 사이의 관계식으로 정의하는 방법을 수열의 귀납적 정의라 하고, 이 관계식을 점화식(Recurrence formula) 라고 함

3. 수열의 극한

정의

• 수열의 극한은 수열 $a_n$에서 $n$이 한없이 커질 때, 그 값이 일정한 값에 가까워질 때 수렴한다고 하며, 일정한 값을 극한값이라 부름
• 이 극한이 수렴하지 않으면, 수열의 극한값은 없으며 발산한다고 한다
• 미적분학에서 수열의 극한은 엡실론-델타 논법을 이용해 다음과 같이 정의 한다
  • 임의의 양수 $ϵ$ 에 대하여 그에 대응하는 자연수 $N$ 이 존재하여, 다음 식을 만족하면 수열 $\{a_n\}$은 일정한 값 $L$로 수렴한다고 하며, $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=L$ 로 표기함
  • $n\le N\Rightarrow |a_n-L|<ϵ$

등비수열의 극한

• 공비가 $r$ 이라 할 때, $r$ 값에 따른 등비수열의 극한은 다음과 같다

• 등비수열이 $\{r^n\}$ (첫째항이 공비와 같은 경우) 일 때 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n$ 의 극한

  1. $(r>1)\to \infty \text{(발산)}$
  2. $(r=1)\to 1\text{(수렴)}$
  3. $(r\le -1)\to \text{진동 (발산)}$
  4. $(-1<r<1)\to 0\text{(수렴)}$

• 등비수열이 $\{a{r}^{n-1}\}$ 일 때

  1. $(r>1,a>0)\to \infty \text{발산}$
  2. $(r>1,a<0)\to -\infty \text{발산}$
  3. $(r=1)\to a\text{수렴}$
  4. $(-1<r<1)\to 0\text{수렴}$
  5. $(r\le -1)\to \text{진동 (발산)}$

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참고

• 수열과 급수의 기초 (Sequence, Series)
• 등비수열의 극한을 알아보자! : 네이버 블로그