(벡터) 벡터 연산

벡터의 정의

벡터의 개념

• 벡터(Vector)는 물리학과 수학에서 중요한 개념으로, 크기(절대값)와 방향을 동시에 가지는 물리적 또는 기하학적 개체를 의미함. 일반적으로 위치나 힘, 속도, 가속도와 같은 물리량을 나타낼 때 사용된다.
• 반대로, 크기만 가지고 방향이 없는 물리량은 **스칼라(Scalar)**라고 부른다.

벡터의 표현

• 벡터는 여러 분야에서 다양한 방식으로 표현할 수 있다.

1. 기하학적 표현

• 벡터는 2차원 또는 3차원 공간에서 **화살표(Arrow)**로 표현됩니다.
• 화살표의 길이는 벡터의 크기를 나타내고, 화살표가 가리키는 방향이 벡터의 방향을 나타냅니다.

2. 좌표 표현

• 벡터는 데카르트 좌표계에서 성분으로 표현할 수 있다.
  • 2차원 벡터: $\mathbf{v}=(v_x,v_y)$
  • 3차원 벡터: $\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)$
• 여기서 $v_x,v_y,v_z$​는 각각 $x$, $y$, $z$ 축에 대한 성분이다.

3. 단위 벡터 표현

• 벡터를 크기와 방향으로 나눌 수 있다:
  • $\mathbf{v}=|\mathbf{v}|\hat{\mathbf{v}}$
  • $|\mathbf{v}|$: 벡터의 크기
  • $\hat{\mathbf{v}}$: 벡터의 방향을 나타내는 단위 벡터 (크기가 1인 벡터)
  • 크기가 1인 단위 벡터 : $\frac{\text{벡터}}{\text{벡터크기(길이)}}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$

4. 행렬 표현

• 벡터는 열벡터(column vector) 또는 행벡터(row vector) 형태로도 표현된다:
  • 열벡터: $\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right]$
  • 행벡터: $\mathbf{v}=[v_x,v_y,v_z]$

5. 벡터의 크기

• 벡터 $\mathbf{v}=[v_1,v_2,...,v_i]$ 라고 할 때, 벡터의 크기는 아래와 같이 표현함.
  • 백터 크기 표현 : $|\mathbf{v}|$ 또는 $||\mathbf{v}||$
  • 벡터 크기 계산 : $|\mathbf{v}|=||\mathbf{v}||=\sqrt{{v_1}^2+{v_2}^2+...+{v_i}^2}$

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벡터의 기본 연산

• 벡터의 기본 연산에는 덧셈, 뺄셈, 스칼라 곱이 포함되며 이 연산들은 벡터의 성분을 활용하여 수행된다.

벡터의 덧셈

• 벡터의 덧셈은 같은 위치에 있는 성분들을 더해서 새로운 벡터를 생성하는 연산.
• 벡터의 덧셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.
• 두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$에 대해 덧셈은 아래와 같다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}& =[a_1,a_2,a_3]\\ & \\ \mathbf{b}& =[b_1,b_2,b_3]\\ & \\ \mathbf{a}+\mathbf{b}& =[(a_1+b_1),(a_2+b_2),(a_3+b_3)]\end{array}$$

벡터 덧셈의 기하학적 의미

• 두 벡터의 크기와 방향을 합하여 평행사변형 꼴을 이룰 수 있도록 만들어진 벡터

$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$$

벡터의 뺄셈

• 벡터의 뺄셈은 같은 위치에 있는 성분들을 빼서 새로운 벡터를 생성하는 연산.
• 벡터의 뺄셈은 교환법칙과 결합법칙이 성립한다.
• 두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$에 대해 뺄셈은 아래와 같다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}& =[a_1,a_2,a_3]\\ & \\ \mathbf{b}& =[b_1,b_2,b_3]\\ & \\ \mathbf{a}-\mathbf{b}& =[(a_1-b_1),(a_2-b_2),(a_3-b_3)]\end{array}$$

벡터 뺄셈의 기하학적 의미

• 두 벡터의 시작점을 같도록 평행이동을 한 후에, 다른 한 벡터의 끝점을 시작으로 하고, 나머지 벡터의 끝점을 끝으로 하는 벡터가 두 벡터의 뺄셈 결과이다.

스칼라 곱 (scalar multipliation)

• 벡터에 스칼라(양)을 곱한 것으로 벡터의 크기가 스칼라양에 비례하여 달라진다.
• 스칼라의 부호가 음수일 경우, 벡터의 방향은 반대로 바뀔 수 있다.
• 벡터의 각 성분에 대해 스칼라가 곱해져 새로운 벡터를 생성함.
• 벡터 $\mathbf{a}$ 와 스칼라 $k\in \mathbb{R}$ 의 곱은 아래와 같다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}& =[a_1,a_2,a_3]\\ & \\ k\mathbf{a}& =[k{a}_1,k{a}_2,k{a}_3]\end{array}$$

벡터 스칼라곱의 기하학적 의미

• 스칼라 곱이 벡터에 미치는 영향은 크기와 부호에 따라 다르다:
  • 크기 변경: 스칼라 $k$의 절대값 $|k|$ 에 따라 크기가 커지거나 작아짐.
  • 방향 반전: 스칼라 $k$가 음수일 경우 벡터의 방향이 반대가 됨.