영상 기하학에서 사용되는 동차 좌표계(Homogeneous Coordinate) 개념에 대한 정리
동차 좌표계 (Homogeneous Coordinates)
1. 동차 좌표계란?
1.1. 개념
- n차원 사영공간(Projective space)을 n+1개의 좌표로 나타내는 좌표계
- (x, y)를 (x, y, 1)로 표현하는 것
- 임의의 0이 아닌 상수 w에 대해 (x, y)를 (wx, xy, w)로 표현하는 것
- 3차원의 경우에는 (X, Y, Z)를 (X, Y, Z, 1) 나 (wX, wY, wZ, w)로 표현함
- 동차 좌표계에서 스케일(scale)은 무시되며 (x, y)에 대한 homogeneous 좌표 표현은 무한함
1.2. 이미지에서의 동차 좌표계
-2.-동차-좌표계_image_1.png)
- 이미지 평면상의 한 점에 대한 homogeneous 좌표라는 것은 이 점으로 투영되는 (ray 상의) 모든 점들을 한꺼번에 표현하는 방법
- 역으로 homogeneous 좌표에서 원래의 좌표를 구하려면 끝 자리가 1이 되도록 scale을 바꾼 후 1을 때내면 된다. 즉, (x, y, w)는 (x/w, y/w, 1)과 같으며 따라서 실제 2D 좌표는 (x/w, y/w)이 됨
- homogeneous 좌표 (x, y, z)에서 (x/z, y/z)를 구하는 것은 projection, 반대로, (u, v)를 homogeneous 좌표 (wu, wv, w)로 표현하는 것은 inverse projection
- homogeneous 좌표 표현의 다른 한 장점은 무한대의 점을 유한 좌표로 표현할 수 있다는 것인데, (u, v) 방향으로 무한대의 점은 homogeneous 좌표로 (u, v, 0)으로 표현됨
2. 사영 기하학(Projective Geometry)
2.1. Projection
- Projection : (투영, 사영, 투상) 이란 통상 n차원에서 (n-1)차원으로의 변환으로 차원을 단순화 시킴
- 사영 기하학이란 프로젝션(projection)을 다루는 기하학(geometry)으로 동차 좌표계를 사용함
2.2. 특징
- 2차원 사영 기하학에서 두 homogeneous 좌표 (x, y, 1), (2x, 2y, 2)은 두 점 모두 동일한 한 점 (x, y)로 투영되기 때문 서로 같다고 봄.
- 사영 기하학에서는 3D물체를 2D영상에 투영시키는 것과 같이 길이(length), 각도(angle), 평행성(parallelism)이 보존되지 않음
- 3D 직육면체에서 한변의 마주보는 두변을 영상(2D)에 투영하면 vanishing point에서 만나는 것과 같이 평행성이 보존되지 않음