(벡터) 선, 평면의 방정식

선(Lines)의 방정식

• 아래 3차원 공간을 가로지르는 선 $L$ 과, $L$ 위의 임의의 점 $P,P_0$가 있다고 할 때 다음을 만족한다.
  • $\mathbf{r},{\mathbf{r}}_0$ : 점 $P$ 와 $P_0$의 각각의 위치 벡터.
  • $\mathbf{a}$ : 점 $P_0$ 에서 $P$ 까지의 벡터.
  • $\mathbf{v}$ : 선 $L$ 의 방향벡터. $\mathbf{a}$ 와 평행.

• $P$ 의 위치벡터 $\mathbf{r}$ 은 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$\mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+\mathbf{a}$$

1. 선의 벡터 방정식

• 직선은 한 점을 지나고, 특정 방향으로 뻗어나가는 선으로 표현됩니다. **벡터 방정식(Vector Equation)**은 다음과 같다.
• 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{v}$가 평행한 벡터이기 때문에, 상수 $t$를 이용해 $\mathbf{a}$ 를 아래와 같이 나타낼 수 있다. (수학에서 벡터의 원점은 $0$)

$$\mathbf{a}=t\mathbf{v}$$

• 위 그림과 같이 방향 벡터 $\mathbf{v}$ 에 $t$ 배 한 것이 $\mathbf{a}$ 라 할 수 있다.
• 이를 이용해 점 ${\mathbf{r}}_0$ 을 지나고 방향 벡터 $\mathbf{v}$ 를 가지는 선의 벡터 방정식을 표현해보면 아래와 같다.

$$\begin{array}{r}\\ \therefore \mathbf{r}={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{v}\\ \\ \end{array}$$

• 선의 벡터 방정식은 ${\mathbf{r}}_0$ 에 따라 달라질 수 있으므로 유일하지 않다.

선의 벡터 방정식 예시

• 점 ${\mathbf{r}}_0=(1,2,3)$ 을 지나고, 방향 벡터 $\mathbf{v}=(4,2,5)$를 가지는 직선의 벡터 방정식은 아래와 같다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{r}(t)& =(1,2,3)+t(4,2,5)\\ & \\ \mathbf{r}(1)& =(5,4,8)\\ & \\ & \Rightarrow \text{점(1,2,3)과 점(5,4,8)을 지나는 직선}\end{array}$$

2. 선의 매개변수 방정식

• 벡터 방정식을 구성 성분별로 풀어 쓰면 **매개변수 방정식(Parametric Equations)**이 된다.
• 위치 벡터 ${\mathbf{r}}_0=(x_0,y_0,z_0)$ 이라 하고 방향 벡터 $\mathbf{v}=(a,b,c)$ 라고 할 때, 매개변수 방정식은 아래와 같다.

$$\begin{array}{rl}& \\ \mathbf{r}& ={\mathbf{r}}_0+t\mathbf{v}\\ & \\ [x,y,z]& =[x_0+ta,y_0+tb,z_0+tc]\\ & \\ \therefore x=x_0+ta& ,y=y_0+tb,z=z_0+tc\\ & \end{array}$$

• 선의 매게변수 방정식 역시 ${\mathbf{r}}_0$ 에 따라 달라질 수 있으므로 유일하지 않다.

선의 매개변수 방정식 예시

• 점 ${\mathbf{r}}_0=(1,2,3)$ 을 지나고, 방향 벡터 $\mathbf{v}=(4,2,5)$를 가지는 직선의 매개변수 방정식은 아래와 같다.

$$\begin{array}{r}\\ x=1+4t,y=2+2t,z=3+5t\\ \end{array}$$

3. 선의 대칭식

• 선의 대칭식(Symmetric Equations) 은 선의 매개변수 방정식을 $t$ 에 대해서 정리한 것.
• 직선의 모든 점이 $(x,y,z)$로 표현될 수 있음을 나타낸다.

$$\begin{array}{c}\\ x=x_0+ta,y=y_0+tb,z=z_0+tc\\ \\ t=\frac{x-x_0}{a},t=\frac{y-y_0}{b},t=\frac{z-z_0}{c}\\ \\ \frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}\\ \end{array}$$

선의 대칭식 예시

• 점 ${\mathbf{r}}_0=(1,2,3)$ 을 지나고, 방향 벡터 $\mathbf{v}=(4,2,5)$를 가지는 직선의 대칭식은 아래와 같다.

$$\begin{array}{r}\\ \frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{5}\end{array}$$

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평면(Planes)의 방정식

• 3차원 공간을 가로지르는 평면과, 그 평면 위의 두 점 $P,P_0$ 이 있다고 할때 다음을 만족한다.
  • $\mathbf{r},{\mathbf{r}}_0$ : 점 $P,P_0$ 의 각각 위치 벡터.
  • $\mathbf{n}$ : 평면에 수직(orhogonal)인 법선 벡터 (normal verctor).

1. 평면의 벡터 방정식

• 법선 벡터 $\mathbf{n}$ 이 평면과 직교한다는 것은, 위치 벡터 $\mathbf{r}$ 과 ${\mathbf{r}}_0$를 잇는 벡터는 $(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)$과도 직교한다는 것을 의미한다.
• 따라서 법선 벡터를 이용한 평면의 벡터 방정식은 아래와 같이 표현함.

$$\begin{array}{c}\\ \mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=0,\\ \\ \mathbf{n}\cdot \mathbf{r}=\mathbf{n}\cdot {\mathbf{r}}_0\end{array}$$

2. 평면의 스칼라 방정식

• 평면의 벡터 방정식의 성분을 이용해 평면의 스칼라 방정식(Scalar Equation)을 표현할 수 있다.
• $\mathbf{n}=(a,b,c)$ , $\mathbf{r}=(x,y,z)$ , ${\mathbf{r}}_0=(x_0,y_0,z_0)$ 이라 할 때, 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{c}\\ \mathbf{n}\cdot (\mathbf{r}-{\mathbf{r}}_0)=0\\ \\ [a,b,c]\cdot [x-x_0,y-y_0,z-z_0]=0\\ \\ a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\\ \\ ax+by+cz=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0\\ \end{array}$$

3. 평면의 선형 방정식

• 평면의 스칼라 방정식을 변형해 평면의 일반 선형 방정식(Linear Equation)을 만들 수 있다.
• 스칼라 방정식에서 $-(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0)=d$ 라 할 때, 아래와 같이 표현 가능함.

$$\begin{array}{c}\\ ax+by+cz+d=0\\ \end{array}$$

• 단, $a,b,c$ 는 모두 0이 아님.

평면의 방정식 예시

• 법선 벡터 $\mathbf{n}=(2,-3,1)$ 이고, 평면위의 점 ${\mathbf{r}}_0=(1,2,-1)$ 일 때, 평면의 선형 방정식으로 표현하면 아래와 같다.

$$\begin{array}{c}\\ 2(x-1)+-3(y-2)+1(z+1)=0\\ \\ 2x-3y+z+3=0\end{array}$$

3차원 점과 평면 사이의 거리

• 점과 평면 사이의 거리는 점에서 평면에 수직으로 내린 선의 길이로 정의됨.
• 점 $\mathbf{P}=(x_1,y_1,z_1)$ 라 하고, 평면의 법선 벡터를 $\mathbf{n}=(a,b,c)$ 라 할 때, 3차원 점과 평면 사이의 거리는 아래와 같이 전개할 수 있다.

$$\begin{array}{c}\\ \text{법선 벡터}:\mathbf{n}=(a,b,c)\\ \\ \text{평면 방정식}:ax+by+cz+d=0\\ \\ \text{3차원 점}:\mathbf{P}=(x_1,y_1,z_1)\\ \\ \text{점 P를 평면에 내린 수선의 발}:\mathbf{H}=(x,y,z)\end{array}$$

• 평면 상의 임의의 점 $\mathbf{H}(x,y,z)$ 는 평면 방정식 $ax+by+cz+d=0$을 만족한다.
• 점 $\mathbf{P}(x_1,y_1,z_1)$ 에서 점 $\mathbf{H}(x,y,z)$로 향하는 벡터를 $\overrightarrow{\mathbf{PH}}$ 라 한다면 :
  • $\overrightarrow{\mathbf{PH}}=(x-x_1,y-y_1,z-z_1)$
• 즉 $|\overrightarrow{\mathbf{PH}}|$ 의 절댓값이 구하고자하는 거리가 됨.
• 이때, $\overrightarrow{\mathbf{PH}}$ 는 법선 벡터 $\mathbf{n}$ 과 평행이므로, 임의의 스케일 $k$ 에 대해 $\overrightarrow{\mathbf{PH}}=k\mathbf{n}$ 을 만족한다.
• 내적을 이용하면, 두 벡터가 평행할 때 네적은 두 벡터를 곱한 것(방향에 따라 부호가 바뀜).
• 내적을 이용하여 $|\overrightarrow{\mathbf{PH}}|$ 를 표현하면 :
  • $|\overrightarrow{\mathbf{PH}}|=\frac{\overrightarrow{\mathbf{PH}}\cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}$
• 위 식을 계산하면 아래와 같다.

$$\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{PH}}\cdot \mathbf{n}=a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1),\\ \\ |\mathbf{n}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2},\\ \\ \frac{\overrightarrow{\mathbf{PH}}\cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{n}|}=\frac{a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\end{array}$$

• 이때, 점 $\mathbf{H}(x,y,z)$ 는 평면 방정식 $ax+by+cz+d=0$을 만족하므로 $ax+by+cz=-d$ 를 이용하면 :

  • $\overrightarrow{\mathbf{PH}}\cdot \mathbf{n}=a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d$

• 따라서, $\overrightarrow{\mathbf{PH}}\cdot \mathbf{n}$에 절대값을 취한 최종 식은 아래와 같다.

$$\begin{array}{r}\\ \text{(3d points-plane distance)}=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\ \end{array}$$

+) 2차원 점과 직선 사이의 거리

• +) 2차원 점과 직선($ax+by+c=0$) 사이의 거리 방정식은 z축을 제외하고 계산하여 아래와 같다.

$$\begin{array}{r}\\ \text{(2d points-line distance)}=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \end{array}$$

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참고

• 선(Lines), 평면(Planes)의 방정식(Equations)