3. 저주파 통과 필터 (Low-Pass Filter)

저주파 통과 필터 (Low-Pass Filter)

• 저주파 신호는 통과시키고 고주파 신호는 걸러내는 필터.
• 대게 노이즈가 고주파 성분일 때 노이즈 제거용으로 사용.
• 특정 수식의 필터를 지칭하는 고유 명사가 아니라 저주파만 통과시키는 특성을 가진 모든 필터를 총칭.
• Low-Pass Filter 중 비교적 간단한 1차 Low-Pass Filter를 다루어보자.

고주파와 저주파의 개념

• 주파수(Frequency): 신호가 얼마나 빠르게 변화하는가
  • 단위: 헤르츠(Hz) → 초당 몇 번 변화하는가
  • 예시: 1Hz = 초당 1번 진동, 100Hz = 초당 100번
• 고주파(High Frequency): 빠르게 변화하는 성분(급격한 변화, 잡음 등)
• 저주파(Low Frequency): 느리게 변화하는 성분(완만한 변화, 추세 등)
• 관심 있는 신호의 특성 범위에 따라 “저주파”와 “고주파”는 달라진다.

고주파와 저주파의 예시

1. 시간 신호

• 온도 측정 (센서 데이터)
  • 저주파: 하루에 걸친 기온의 느린 변화
  • 고주차: 센서 노이즈, 순간적인 튐
• 차량 속도
  • 저주파: 속도가 점진적으로 오르고 내리는 추세
  • 고주파: 노면의 울퉁불퉁함으로 인한 센서 값의 찾은 튐

2. 이미지 처리

• 이미지 구조
  • 저주파: 넓고 부드러운 색상 변화 (하늘, 배경 등)
  • 고주파: 윤곽선, 텍스처, 노이즈, 가장자리 등
• 이미지 필터링
  • 가우시안 블러와 같은 저역 패스 필터는 이미지의 고주파 성분(노이즈, 디테일)을 제거하고 흐릿하게 만든다.
  • 라플라시안 필터와 같은 고역 패스 필터는 이미지의 가장자리나 윤곽선을 강조하여 이미지를 선명하고 날카롭게 만든다.

3. 소리 (오디오)

• 저주파: 베이스, 드럼 등 낮은 소리 (20~200Hz)
• 고주파: 고음, 치찰음, S음 등 높은 소리 (2k~20kHz)

이동 평균 필터의 한계

• 2. 이동 평균 필터(Moving Average Filter) 또한 LPF의 일종
• 이동 평균 필터의 수식을 보면,

$$\begin{array}{rl}{\bar{x}}_k=& \frac{x_{k-n+1}+x_{k-n+2}+\cdots +x_k}{n}\\ =& \frac{1}{n}{x}_{k-n+1}+\frac{1}{n}{x}_{k-n+2}+\cdots +\frac{1}{n}{x}_k\end{array}$$

위 식을 보면, 모든 데이터에 동일한 가중치($\frac{1}{n}$)를 부여함.

• 일반적으로 시간에 따른 변화가 있는 데이터는 가장 최근에 있는 데이터가 가장 중요하다고 볼 수 있음.
• 따라서 이동 평균 필터는 변화가 심한 신호에 적용하기 어렵다.

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1차 저주파 통과 필터 (1st order Low-Pass Filter)

1차 저주파 통과 필터식 전개

• 최근 측정값에는 높은 가중치를 주고, 오래된 값일수록 가중치를 낮게 주어보자.
• 1차 저주파 통과 필터 식 ($\bar{x}$ 는 추정 값, estimated value)

$${\bar{x}}_k=\alpha {\bar{x}}_{k-1}+(1-\alpha )x_k(0<\alpha <1)$$

• 위의 식이 이동 평균 필터의 단점을 보완하는지 보면,

$$\begin{array}{rl}& {\bar{x}}_k=\alpha {\bar{x}}_{k-1}+(1-\alpha )x_k\\ & =\alpha \left\{\alpha {\bar{x}}_{k-2}+(1-\alpha )x_{k-1}\right\}+(1-\alpha )x_k\\ & ={\alpha }^2{\bar{x}}_{k-2}+\alpha (1-\alpha )x_{k-1}+(1-\alpha )x_k\end{array}$$

$(0<\alpha <1)$ 범위를 가질 때, $\alpha (1-\alpha )<1-\alpha$ 가 성립

• 따라서, 최근 측정값($x_k$)이 이전 측정값($x_{k-1}$) 보다 더 큰 가중치를 가지고 있음
• ${\bar{x}}_{k-2}$에 대해서도 전개해보면,

$$\begin{array}{rl}& {\bar{x}}_k={\alpha }^2{\bar{x}}_{k-2}+\alpha (1-\alpha )x_{k-1}+(1-\alpha )x_k\\ & ={\alpha }^2\left\{\alpha {\bar{x}}_{k-3}+(1-\alpha )x_{k-2}\right\}+\alpha (1-\alpha )x_{k-1}+(1-\alpha )x_k\\ & ={\alpha }^3{\bar{x}}_{k-3}+{\alpha }^2(1-\alpha ){\bar{x}}_{k-2}+\alpha (1-\alpha )x_{k-1}+(1-\alpha )x_k\end{array}$$

다음을 만족함

$${\alpha }^2(1-\alpha )<\alpha (1-\alpha )<1-\alpha$$

⇒최근 값과 멀어질수록 값이 기하급수적으로 작아진다

⇒ 지수 가중 이동 평균 필터 라고도 함

알파값

• $\alpha$ 값에 따라 성능이 좋아질수도 나빠질수도 있음
• 이동 평균 필터의 데이터 개수 $n$과 유사함
• $\alpha$ 값이 작으면 노이즈는 많지만 변화에 민감하다 (현재 데이터의 가중치가 높아짐 → 변화하는 데이터를 적극 반영)
• $\alpha$ 값이 크면 노이즈에는 강하지만 변화에 둔감하다 (현재 데이터의 가중치가 낮음 → 변화하는 데이터를 덜 반영)

1차 저주파 통과 필터 코드

class LPF:
    # 이전 스텝의 예측값
    prevX = 0
    
    # 측정값 x와 상수 알파를 입력 받아 low pass filter를 수행합니다.
    def lpf(self, x, alpha):
        # low pass filter 
        x_lpf = alpha * self.prevX + (1 - alpha)*x
        # 이전 스텝 값 갱신
        self.prevX = x_lpf
        return x_lpf    

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정리

• 1차 저주파 통과 필터는 매우 단순하며 시간에 따라 변화하는 데이터에서 이동 평균 필터에 비해 좋은 성능
• 변화 추이를 이동 평균 필터보다 더 잘 감지함

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참고

• 저주파 통과 필터(low pass filter) - gaussian37

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Prev: 2. 이동 평균 필터(Moving Average Filter)

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저주파통과필터lpf상태추정