(행렬) 연립방정식과 행렬

연립방정식과 행렬 (System of Linear Equations)

✔ 연립방정식의 행렬 표현을 알아보자

다른 문자를 소거해서 하나의 문자에 관한 방정식을 구하는 것이 핵심 아이디어

{2 x + y = 2 x - y = 1

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} ⋮ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{mn} x_{n} = b_{m}

위의 연립방정식에 대해 다음과 같이 행렬로 표현할 수 있다.

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn}, X = x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}, B = b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}

A X = B

이 때, $A$ 는 연립방정식의 계수를 담당하고 있으며, == $A$ 를 계수 행렬(coefficient matrix)== 라고 부른다.

다음과 같은 연립방정식을 풀고자 한다면, 미지수 하나를 소거하여 풀 수 있다. 두 식을 더하거나, 식에 상수를 곱하거나 해도 미지수는 바뀌지 않는다.

{2 x + y = 2 x - y = 1

이를 행렬로 나타내면,

(21 1 - 1) (x y) = (21)

이를 계수 행렬과 우변의 상수항 행렬을 합쳐서 (2x3) 행렬을 만들면,

(21 1 - 1 21)

두 행의 위치를 바꾸면 :

(12 - 1 1 12) : {x - y = 1 2 x + y = 2

첫 번째 행에 -1을 곱하면 :

(- 1 2 11 - 1 2) : {- x + y = - 1 2 x + y = 2

첫 번째 식에 2배한 행을 두번째 행에 더하면 :

(- 1 0 13 - 1 0) : {- x + y = - 1 3 y = 0

== $∴$ 행렬식의 기본 행 연산으로 연립방정식을 풀 수 있다.==

연립방정식의 행렬 곱 표현 AX=B에 대해,

(A, B) = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn}, X = x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}, B = b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}

A(계수행렬) 의 오른쪽에 B를 붙여 쓴 행렬 (A, B) 를 연립방정식 AX=B의 ==첨가행렬(Augmented Matrix) 라고 한다.==

A = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} b_{1} b_{2} ⋮ b_{n}

첨가행렬에 대한 다음 세 가지의 연산을 기본 행 연산 이라 한다.