삼각함수 기본

삼각함수 개념 (Trigonometric Function)

• 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수
• 동경의 크기에 따라 변화하는 함수
• 가장 근본적인 주기 함수

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직각 삼각형을 통한 정의

C가 직각인 삼각형 ABC에서, 각 A, B, C의 대변(마주보는 변)의 길이를 $a,b,h$ 라고 할 때, 사인, 코사인, 탄젠트의 정의는 다음과 같다

• $\sin A=\frac{a}{h}$
• $\cos A=\frac{b}{h}$
• $\tan A=\frac{a}{b}$

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단위원을 통한 정의

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 하며, 점 A($x,y$)에 대해, $x$축과 원점을 잇는 직선간의 각을 $\theta$ 라고 하여 다음과 같이 정의함

• $\sin \theta =\frac{y}{r}$
• $\cos \theta =\frac{x}{r}$
• $\tan \theta =\frac{y}{x}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

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특수한 각

• 각 중에서 특히 중요성이 높은 각의 값
• 일반적인 각과는 달리 특정한 수치로 맞아떨어짐

특수각	sin	cos	tan
$0(0°)$	0	1	0
$\frac{\pi }{6}(30°)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{\pi }{4}(45°)$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$\frac{\pi }{3}(60°)$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
$\frac{\pi }{2}(90°)$	$1$	$0$	정의되지 않음

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주기성과 특이점

$sin,cos,csc,sec$ 는 주기가 $2\pi$인 주기함수

• $\sin z=\sin (z+2\pi )$
• $\cos z=\cos (z+2\pi )$

$tan,cot$ 는 주기가 $\pi$인 주기함수

• $\tan z=\tan (z+\pi )$
• $\cot z=\cot (z+\pi )$

위 그래프를 참고하여,

• $\cos (\frac{\pi }{2}-\theta )=\sin \theta$
• $\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cos \theta$
• $\cos (-\theta )=\cos \theta$
• $\sin (-\theta )=-\sin \theta$
• $\cos (\theta +\pi )=-\cos \theta$
• $\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$
• $\tan (\theta +\pi )=\tan \theta$

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참고

• 삼각함수 위키
• 삼각함수 덧셈정리

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의문점

Qquestion

1. 특수각은 특정각을 가진 삼각형들의 각 변의 비율과 피타고라스정리를 이용해 구할 수 있다
2. 삼각함수가 두변의 비율이라는 것은 알겠는데 구하는 계산식이 뭔데?
3. 서치를 해봐도 계산식은 없고 특수각만 알려줌
4. 계산식이 없는데 그래프는 어떻게 그리며, 계산기에서 값은 어떻게 나오는 것인지..
5. 그러므로 컴퓨터가 어떻게 삼각함수를 계산하는가?

Answer

• 테일러 급수를 이용한다. 테일러급수

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삼각함수수학