(벡터) 벡터의 내적과 외적

벡터의 내적 (Dot Product)

내적의 정의

• 단어 그대로 두 벡터를 쌓는다(곱한다)는 의미로, 방향이 일치하는 만큼만 곱하는 연산.
• 두 벡터의 내적 결과는 실수(real number)이다.
• scalar product 또는 innder product 라고도 표현함.
• 내적은 $\cdot$ 기호를 이용해 표현함.

내적의 연산

벡터 성분을 이용한 연산

• 벡터의 내적은 두 벡터의 각 성분을 곱한 후 그 결과를 모두 더하는 연산이다.
• 두 벡터 $\mathbf{a}=[a_1,a_2,a_3]$ 와 $\mathbf{b}=[b_1,b_2,b_3]$ 에 대한 내적의 정의는 아래와 같다.

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

각도를 이용한 연산

• 벡터의 내적은 두 벡터의 방향이 일치하는 만큼을 곱한다. 이는 한 벡터를 다른 벡터로 정사영 시켜서 그 벡터의 크기를 곱하는 것과 같다.

• 두 벡터의 크기를 각각 $|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|$라고 할 때, 두 벡터 사이 각도 $\theta$를 이용해 다음과 같이 정의할 수 있다.

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$$

내적의 성질

• 교환 법칙 : $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
• 분배 법칙 : $\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})$
• 스칼라($k$)곱에 대한 결합법칙 : $(k\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=k(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot (k\mathbf{b})$
• 자기자신을 내적하면 제곱과 같다 : $\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=|\mathbf{a}{|}^2$
• 두 벡터의 내적이 0이면, 두 벡터는 직교한다.

내적의 기하학적 의미

• 내적은 목표하는 방향과 일치하는 성분이 얼마인지를 보는 것
• 유사도 측정: 두 벡터가 얼마나 유사한 방향을 가지고 있는지 나타내는 척도로 사용될 수 있다. 두 벡터가 서로 비슷한 방향을 가지고 있을 수록 내적 값은 크고, 서로 다른 방향을 가지고 있을수록 내적 값은 작아진다. 예를 들어 서로 90도를 이루고 있는 두 벡터의 내적값은 0이 된다.
• 투영: 벡터 내적은 한 벡터를 다른 벡터 방향으로 투영한 길이를 계산하는 데 활용됨. 이는 벡터를 다른 벡터에 대해 분해하고 관련된 계산에 사용된다.
• 역행렬과 선형 시스템: 벡터 내적은 선형 방정식과 역행렬 계산에 사용될 수 있다. 선형 시스템의 해를 구할 때 내적은 계수 행렬과 해 벡터의 관계를 표현하는 데 활용된다.

---

벡터의 외적 (Cross Product)

외적의 정의

• 벡터의 외적은 두 벡터의 수직인 벡터를 구하는 방법으로 vector product 라고도 함.
• 두 벡터의 외적 결과는 벡터이다.
• 벡터의 외적 정의가 두 벡터의 수직인 벡터를 나타내기 때문에 벡터의 외적은 기본적으로 3차원 좌표를 기준으로 한다.
• 외적은 $\times$ 기호를 이용해 표현함.

외적의 연산

행렬식을 이용한 연산

• 두 벡터 $\mathbf{a}=[a_1,a_2,a_3]$ 와 $\mathbf{b}=[b_1,b_2,b_3]$ 에 대한 내적의 행렬식 정의는 아래와 같다.

$$\begin{array}{rl}\mathbf{a}\times \mathbf{b}& =\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|\\ & \\ & \\ \mathbf{a}\times \mathbf{b}=(a_2{b}_3-a_3{b}_2)i& -(a_1{b}_3-a_3{b}_1)j+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)k\\ & \end{array}$$

• 이때, $i,j,k$ 는 3차원 벡터에서 축에 해당하는 단위 벡터로써 아래와 같다.

$$\begin{array}{r}i=[1,0,0]\\ \\ j=[0,1,0]\\ \\ k=[0,0,1]\\ \end{array}$$

벡터 각도를 이용한 연산

• 두 벡터가 이루는 각 $\theta$ 를 이용해 두 벡터의 외적 크기에 대한 연산을 표현하면 아래와 같다. (단, $0\le \theta \le \pi$)

$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$$

• 아래 그림을 통해, 두 벡터의 외적이 두 벡터가 각각 변으로 구성된 평행사변형의 면적과 같음을 알 수 있다.

외적의 성칠

• 일반적인 교환법칙과 결합법칙이 성립하지 않는다.
  • 외적 연산은 벡터 덧셈과 결합할 수 있다 : $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$
• 두 벡터의 외적이 영벡터라면, 두 벡터는 평행하다.
• 두 벡터($\mathbf{a},\mathbf{b}$)와 두 벡터의 외적($\mathbf{c}$)에 대해 각각의 내적 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c},\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$는 0 이다(두 벡터에 대해 동시에 수직이다).
• 외적 결과 벡터의 방향은 오른손 법칙(Right-hand Rule)을 따른다.
  • 외적의 순서가 바뀌면 결과 벡터의 방향이 반대로 바뀐다 : $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$
• 벡터에 스칼라를 곱한 후 외적을 수행해도 결과는 동일하며, 결과의 크기는 스칼라 배가 된다.
  • $(k\mathbf{a})\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times (k\mathbf{b})=k(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$
• 외적의 연속성(Jacobi Identity) : $\mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})+\mathbf{b}\times (\mathbf{c}\times \mathbf{a})+\mathbf{c}\times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=0$

외적의 기하학적 의미

• 두 벡터의 외적 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$는 $\mathbf{a}$를 밑변으로 하고 $\mathbf{b}\sin \theta$를 높이로 하는 평행사변형의 넓이를 의미함.
• 두 벡터의 외적 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$는 두 벡터가 이루는 평면의 수직인 벡터를 의미함.
  • 방향은 오른속 법칙을 따른다 : 오른손 네 손가락을 $\mathbf{a}$ 에서 $\mathbf{b}$로 회전시키는 방향으로 감쌌을 때, 엄지가 가리키는 방향이 외적 벡터의 방향이 된다.